Tren Muka Air Teredam Eksponensial dengan Data Terbatas

Jika muka air sekarang 200 cm dan selama satu jam terakhir naik 10 cm, apakah lima jam lagi akan menjadi 250 cm? Hasil itu masuk akal jika laju kenaikannya terus sama. Namun, data terakhir saja belum cukup untuk memastikan tren tersebut akan bertahan.

Pada sistem pemantauan di salah satu stasiun Surabaya, data yang diterima secara real-time tidak selalu menunjukkan pola serapi contoh tadi. Ada pembacaan yang sangat stabil, ada yang naik-turun, dan ada yang berubah hanya sesaat. Melihat beberapa angka terakhir saja belum cukup untuk memastikan arah perubahan muka air.

Data yang digunakan untuk prediksi ini juga terbatas pada riwayat muka air dari sensor yang sama. Curah hujan, debit, dan kondisi hulu belum menjadi masukan. Karena itu, pendekatannya dimulai dari pola yang bisa dibaca dari riwayat tersebut.

Karena itu, pembacaan diperiksa dan dirangkum terlebih dahulu sebelum digunakan untuk menghitung tren. Arah perubahan terakhir kemudian diteruskan dengan pengaruh yang dikurangi secara bertahap. Catatan ini menjelaskan pendekatan tersebut dan langkah untuk memperoleh persamaannya.

Pendekatan dan asumsi utama

Prinsip damped trend atau tren teredam sudah dikenal dalam peramalan, termasuk pada metode Holt teredam.¹² Pendekatan di sini memakai muka air terakhir sebagai nilai awal, regresi linear untuk menghitung laju perubahan, dan peredaman eksponensial untuk melemahkan laju tersebut.

Jarak pembacaan sensor dikelompokkan per lima menit. Setiap kelompok memerlukan sedikitnya lima waktu pembacaan berbeda dan seluruhnya harus memenuhi pemeriksaan data. Pembacaan kosong, jarak nol atau negatif, di atas tinggi referensi, serta waktu sama dengan nilai berbeda ditolak.

Setiap kelompok diwakili oleh median, yaitu nilai tengah setelah pembacaan diurutkan. Pilihan ini mengurangi pengaruh satu angka yang jauh berbeda. Misalnya, median dari 149, 150, 150, 151, dan 200 cm adalah 150 cm, sementara rata-ratanya 160 cm. Muka air dihitung sebagai tinggi referensi sensor dikurangi median jaraknya.

Sistem memerlukan enam jam riwayat lengkap untuk memeriksa kesinambungan data. Aturan terpisah menandai angka yang terus persis sama selama enam jam sebagai kemungkinan pembacaan macet. Kedua durasi ini masih pengaturan awal, bukan ketentuan rumus. Masih dibutuhkan eksperimen untuk menentukan durasi yang sesuai per sensor.

Tren dihitung dari 13 titik terakhir, yang mencakup satu jam dengan jarak lima menit. Ada 12 sela waktu dan 13 titik jika awal serta akhirnya dihitung. Regresi linear mencari garis lurus yang paling sesuai dengan titik-titik itu. Kemiringannya menjadi laju perubahan $b$, dalam cm/jam.

Penurunan persamaan

Misalkan $H_t$ adalah muka air awal dan $u$ waktu sejak prediksi dimulai. Laju naik atau turunnya air diasumsikan melemah mengikuti:

$$v(u)=b{e}^{-u/\tau }$$

Saat $u=0$, lajunya masih $b$. Setelah itu, faktor eksponensial semakin kecil. Parameter $\tau$ mengatur waktu pelemahannya. Jika $\tau =1$ jam, setelah satu jam laju yang tersisa sekitar 37% dari laju awal. Ini asumsi model di sini, bukan persamaan laju yang dikutip langsung dari paper Holt.

Untuk memperoleh tambahan tinggi selama $h$ jam, kita mengumpulkan perubahan sepanjang waktu melalui integral:

$$\Delta H(h)={\int }_0^{h}b{e}^{-u/\tau }du$$

Hasil integral tak tentunya adalah $-b\tau e^{-u/\tau }+C$. Masukkan waktu akhir $h$, lalu kurangi dengan hasil pada waktu awal 0:

$$\begin{array}{rl}\Delta H(h)& ={\left[-b\tau e^{-u/\tau }\right]}_0^h\\ & =-b\tau e^{-h/\tau }+b\tau \\ & =b\tau (1-e^{-h/\tau }).\end{array}$$

Tambahkan perubahan tersebut pada muka air awal:

$${\tilde{H}}_{t+h}=H_t+b\tau (1-e^{-h/\tau }).$$

Hasil ini sudah memakai peredaman. Langkah berikutnya adalah membatasinya antara 0 dan tinggi referensi sensor $R$:

$${\hat{H}}_{t+h}=\min \left(R,\max \left(0,{\tilde{H}}_{t+h}\right)\right).$$

Peredaman membuat pengaruh tren semakin kecil. Pembatasan hanya mengubah hasil di luar rentang pengukuran. Misalnya, prediksi 310 cm menjadi 300 cm jika $R=300$ cm.

Contoh dan insight

Dengan $H_t=200$ cm, $b=10$ cm/jam, dan $\tau =1$ jam, prediksi satu jam berikutnya adalah:

$$200+10(1-e^{-1})=206,32\text{ cm}.$$

Laju pada akhir jam pertama tinggal 3,68 cm/jam, tetapi total kenaikan selama satu jam adalah 6,32 cm. Keduanya berbeda karena air diasumsikan naik lebih cepat di awal, lalu semakin lambat.

Prediksi +1 hingga +5 jam berturut-turut adalah 206,32, 208,65, 209,50, 209,82, dan 209,93 cm. Angka ilustrasi ini mendekati 210 cm karena asumsi peredaman, bukan karena sungai memiliki batas tinggi 210 cm.

Pada perhitungan saat ini, tau ditetapkan satu jam. Eksperimen terpisah membandingkan 0,5, 1, dan 2 jam, dari pelemahan lebih cepat ke lebih lambat. Nilai dipilih berdasarkan rata-rata kesalahan absolut pada data validasi. Hang Tuah memilih satu jam, sedangkan Pucang dan Menur memilih setengah jam. Hasil itu berlaku pada kandidat dan data yang diuji, bukan bukti waktu respons fisik sungai.

Pelajaran utamanya adalah bahwa persamaan pendek tetap membawa pilihan yang perlu diuji. Median menentukan cara merangkum pembacaan. Riwayat enam jam menentukan kapan prediksi boleh dibuat. Rentang regresi dan tau menentukan bagaimana tren diteruskan. Langkah berikutnya adalah membandingkan pengaturan tersebut per sensor dengan data pengujian terpisah, menggunakan prediksi tetap (persistence) dan tren linear sebagai pembanding.

Footnotes

1. E. S. Gardner, Jr. dan E. McKenzie, “Forecasting Trends in Time Series,” Management Science, 31(10), 1237–1246, 1985. DOI: 10.1287/mnsc.31.10.1237. ↩

2. R. J. Hyndman dan G. Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, edisi ke-3, OTexts, 2021. Bagian 8.2, “Damped trend methods”. ↩